HOLA! SOY LEONARDO Y TE DOY LA
BIENVENIDA A MI BLOG DE ÁLGEBRA!!
En este sitio encontraras toda la informaciÓn necesaria para la UNIDAD #1
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.
LA BICONDICIONAL
NEGACION CONJUNTA
•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
CONTINGENCIA:Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:
EJEMPLOS:
z
EJEMPLOS:
INFERENCIA LOGICAS
VIDEO REFERENTE A ESTA UNIDAD
Que es una proposición
Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.
Clases de proposiciones
Existen dos clases de proposiciones:
PROPOSICIONES SIMPLES: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.
Ejemplos:
- El cielo es azul.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
Ejemplos:
- Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
- Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
- Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p
CONJUNCIÓN: .
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.
NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p
CONJUNCIÓN: .
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.
Ejemplo:Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Una, otra o ambas a la vez. (y/o)
Palabras conectivas: o
Condición: es F cuando las dos son F.
Ejemplo:Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.
O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.
LA CONDICIONAL
Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. .........q........ sólo si ......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..
Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.
Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe
Ejemplo:Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe
LA BICONDICIONAL
Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".
NEGACION CONJUNTA
Simbolizaciones equivalentes:
Palabras conectivas:
Ni.... ni.....
No.... ni.....
Condición: es V si sólo ambas proposiciones son F.
Palabras conectivas:
Ni.... ni.....
No.... ni.....
Condición: es V si sólo ambas proposiciones son F.
Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es. tautologica
Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradiccion.
Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia.
•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 
CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 
CONTINGENCIA:Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: 
EJEMPLOS:
z EJEMPLOS:
la inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.
En lógica, especialmente en logica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.
Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.
LEYES :
EJEMPLOS:
MPP Modus ponendoponens
A → B
A
- - - - -
B
A → B
A
- - - - -
B
MTTModustollendotollens
A → B
¬B
- - - - -
¬A
A → B
¬B
- - - - -
¬A
SD Silogismo Disyuntivo
A ∨ B
¬A
- - - - -
¬B
A ∨ B
¬A
- - - - -
¬B
SH Silogismo hipotético
A → B
B → C
- - - - -
A → C
A → B
B → C
- - - - -
A → C
LS Ley de simplificación
A ∧ B
- - - - -
A
A ∧ B
- - - - -
A
LA Ley de adición
A
- - - - -
A ∨ B
A
- - - - -
A ∨ B
CONTRAPOSITIVA
A → B
- - - - -
¬B → ¬A
A → B
- - - - -
¬B → ¬A
La comprobación de las reglas anteriores es directa y basta hacer una fórmula con la conjunción de las premisas condicional la conclusión y probar que es una tautología, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los vaores verdaderos
MODUS PONENDO PONENS (PP)
Si A, entonces B
A
Por lo tanto, B
Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:
Si está soleado, entonces es de día.
Está soleado.
Por lo tanto, es de día.
Otro ejemplo sería
Si Javier tiene rabia, es una nube.
Javier tiene rabia.
Por lo tanto, Javier es una nube.
Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:
Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes: Con condicional:
El modus ponens es la única regla de inferencia primitiva. Esto ha motivado que mucha de la discusión en torno alproblema de la justificación de la deducción se haya centrado en la justificación del modus ponens.
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
p “Llueve” (premisa)
__________________________________________________
q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)
El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendoponens’ significa, “afirmando afirmo” y en uncondicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).
MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)
‘Tollendotollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
¬q “Las calles no se mojan”
__________________________________________________
¬p “Luego, no llueve”
Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.
Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendoponenssólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendotollenssólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.
DOBLE NEGACIÓN (DN)
¬¬p ↔ p
El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:
¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante”
_____________________________________________________
p “Ana es una estudiante”
La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.
ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ(conjunción).
p “Juan es cocinero”
q “Pedro es policía”
___________________________________
p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía”
Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.
p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera”
____________________________________________
p “Tengo una manzana”
q “Tengo una pera”
MODUS TOLLENDO PONENS (TP)
La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.
A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendoponens(negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.
p V q “He ido al cine o me he ido de compras”
¬q “No he ido de compras”
__________________________________________________________
p “Por tanto, he ido al cine”
LEY DE LA ADICIÓN (LA)
Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.
a “He comprado manzanas”
______________________________________________________________
a V b “He comprado manzanas o he comprado peras”
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.
Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:
p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”
q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”
______________________________________________________________________
p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”
SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)
Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”
p V r “Llueve o la tierra tiembla”
____________________________________________________
q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”
SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)
Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.
p V q “Helado de fresa o helado de vainilla”
p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites”
q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”
____________________________________________________
r Luego, repites
LEY CONMUTATIVA
Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,
p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”
p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»
LEYES DE MORGAN (DM)
Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:
p Λ q p V q
___________ ____________
¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q)
VIDEO REFERENTE A ESTA UNIDAD
