UNIDAD # 4 : "FUNCIONES"

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Función

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas.

El principal objetivo es poder entender las funciones, su clasificación y así poder utilizarlas. También se definirá la recta numérica.

Definición de Función:

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió:

"Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

→ Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

→ El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

DOMINIO DE IMAGEN DE UNA FUNCIÓN 

El conjunto de partida o el  conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente (la llamamos x), es el dominio de la función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y o f(x)) se llama a imagen, rango o recorrido de la función, está incluido en el conjunto de llegada.

a) El dominio está determinado por {a, b, c}.   El conjunto imagen (incluido en el conjunto de llegada) es {1,2}.

b) El dominio está determinado por {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.   El conjunto imagen es {-2, -1, 1, 2, 3, 4}.

c) El dominio está determinado por el intervalo de números reales desde el -2 al 5, se escribe: [-2; 5].   El conjunto imagen va desde el -2 al 1,5 y se escribe [-2; 1,5].

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Función Inyectiva 

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f (− 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Cardinalidad e inyectividad  

Dados dos conjuntos y, entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Función Biyectiva

Ejemplo de función Biyectiva.

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva.

Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.
Ejemplo

La función es biyectiva, luego, su inversa también lo es.

Función Biyectiva

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el condominio, es decir, cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Función Sobreyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

FUNCIÓN INYECTIVAS

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:

Ejemplo de función inyectiva

La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

FUNCIÓN SOBREYECTIVAS 

 

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva

Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

FUNCIÓN BIYECTIVAS 

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

 

Ejemplo de función Biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva. 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(G o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(G o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

EJEMPLOS:

Dominio de composición de funciones 

D _(g o f) = {x ∈ D_. / f(x) ∈ D_g}

Propiedades de la composición de funciones

1. Asociativa:

F o (g o h) = (f o g) o h

2. No es conmutativa.

F o g ≠ g o f

3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

F o i = i o f = f

BIBLIOGRÁFICA PARA COMPLEMENTAR

FUNCION SOBREYECTIVA

CLASIFICACION DE FUNCIONES

COMPUERTAS LOGICAS

DOMINIO DE UNA FUNCION

ENLACES DE VÍDEOS QUE TE PUEDEN AYUDAR

JULIO PROFE DOMINIO DE FUNCIONES

EL DOMINIO DE UNA FUNCION

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CLASIFICACION DE FUNCIONES

FUNCION SOBREYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

FUNCION BIYECTIVA

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